Найпростіші логічні операції в інформатиці

Кожного, хто починає вивчати інформатику, вчатьдвійковій системі числення. Саме вона використовується для обчислення логічних операцій. Розглянемо нижче все самі елементарні логічні операції в інформатиці. Адже якщо задуматися, саме вони використовуються при створенні логіки обчислювальних машин і приладів.

заперечення

Перед тим як почати детально розглядати конкретні приклади, перерахуємо основні логічні операції в інформатиці:

• заперечення;
• складання;
• множення;
• слідування;
• рівність.

Також перед початком вивчення логічних операцій варто сказати, що в інформатиці брехня позначається "0", а правда "1".

Для кожної дії, як і в звичайній математиці, використовуються наступні знаки логічних операцій в інформатиці: ¬, v, &, ->.

Кожна дія можливо описати або цифрами 1/0, або просто логічними виразами. Почнемо розгляд математичної логіки з найпростішої операції, що використовує всього одну змінну.

Логічне заперечення - операція інверсії. Суть полягає в тому, що якщо вихідне вираз - істина, то результат інверсії - брехня. І навпаки, якщо вихідне вираз - брехня, то результатом інверсії стане - правда.

При записи цього виразу використовується наступне позначення "¬A".

Наведемо таблицю істинності - схему, яка показує всі можливі результати операції при будь-яких вихідних даних.

Таблиця істинності для інверсії

А	х	про
¬A	про	х

Тобто, якщо у нас вихідне вираз - істина (1), то його заперечення буде хибним (0). А якщо вихідне вираз - брехня (0), то його заперечення - істина (1).

додавання

Решта операції вимагають наявності двох змінних. Позначимо один вислів -

А, друге - В. Логічні операції в інформатиці, що позначають дію додавання (або диз'юнкція), при написанні позначаються або словом "або", або значком "v". Розпишемо можливі варіанти даних і результати обчислень.

1. Е = 1, Н = 1, тоді Е v Н = 1. Якщо обидва вирази істинні, тоді і їх диз'юнкція також істинна.
2. Е = 0, Н = 1, в результаті Е v Н = 1. Е = 1, Н = 0, тоді Е v Н = 1. Якщо хоча б один з виразів істинно, тоді і результат їх складання буде істиною.
3. Е = 0, Н = 0, результат Е v Н = 0. Якщо обидва вирази помилкові, то їх сума також - брехня.

Для стислості створимо таблицю істинності.

диз'юнкція

Е	х	х	про	про
Н	х	про	х	про
Е v Н	х	х	х	про

множення

Розібравшись з операцією додавання, переходимо домноженню (кон'юнкції). Скористаємося тими ж позначеннями, які були наведені вище для складання. При листі логічне множення позначається значком "&", або буквою "І".

1. Е = 1, Н = 1, тоді Е & Н = 1. Якщо обидва вирази істинні, тоді їх кон'юнкція - істина.
2. Якщо хоча б один з виразів - брехня, тоді результатом логічного множення також буде брехня.

• Е = 1, Н = 0, тому Е & Н = 0.
• Е = 0, Н = 1, тоді Е & Н = 0.
• Е = 0, Н = 0, підсумок Е & Н = 0.

кон'юнкція

Е	х	х	0	0
Н	х	0	х	0
Е & Н	х	0	0	0

слідство

Логічна операція слідування (імплікація) - одна з найпростіших в математичній логіці. Вона заснована на єдиній аксіомі - з правди не може слідувати брехня.

1. Е = 1, Н =, тому Е -> Н = 1. Якщо пара закохана, то вони можуть цілуватися - правда.
2. Е = 0, Н = 1, тоді Е -> Н = 1. Якщо пара не закохана, то вони можуть цілуватися - також може бути істиною.
3. Е = 0, Н = 0, з цього Е -> Н = 1. Якщо пара не закохана, то вони і не цілуються - теж правда.
4. Е = 1, Н = 0, результатом буде Е -> Н = 0. Якщо пара закохана, то вони не цілуються - брехня.

Для полегшення виконання математичних дій також наведемо таблицю істинності.

імплікація

Е	х	х	про	про
Н	х	про	х	0
Е -> Н	х	про	х	х

рівність

Останньою розглянутої операцією станелогічне тотожна рівність або еквівалентність. У тексті воно може позначатися як "... тоді і тільки тоді, коли ...". Виходячи з цього формулювання, напишемо приклади для всіх вихідних варіантів.

1. А = 1, В = 1, тоді А≡В = 1. Людина п'є таблетки тоді і тільки тоді, коли хворіє. (Істина)
2. А = 0, В = 0, в результаті А≡В = 1. Людина не п'є таблетки тоді і тільки тоді, коли не хворіє. (Істина)
3. А = 1, В = 0, тому А≡В = 0. Людина п'є таблетки тоді і тільки тоді, коли не хворіє. (Брехня)
4. А = 0, В = 1, тоді А≡В = 0. Людина не п'є таблетки тоді і тільки тоді, коли хворіє. (Брехня)

еквівалентність

А	х	про	х	про
В	х	про	0	х
А≡В	х	х	про	про

властивості

Отже, розглянувши найпростіші логічні операції вінформатики, можемо приступити до вивчення деяких їх властивостей. Як і в математиці, у логічних операцій існує свій порядок обробки. У великих логічних виразах операції в дужках виконуються в першу чергу. Після них насамперед підраховуємо всі значення заперечення в прикладі. Наступним кроком стане обчислення кон'юнкції, а потім диз'юнкції. Тільки після цього виконуємо операцію слідства і, нарешті, еквівалентності. Розглянемо невеликий приклад для наочності.

А v В & ¬В -> В ≡ А

Порядок виконання дій наступний.

1. ¬В
2. В & (¬В)
3. А v (В & (¬В))
4. (А v (В & (¬В))) -> В
5. ((А v (В & (¬В))) -> В) ≡А

Для того щоб вирішити це приклад, нампотрібно побудувати розширену таблицю істинності. При її створенні пам'ятайте, що стовпці краще розташовувати в тому ж порядку, в якому і будуть виконуватися дії.

рішення прикладу

А	В	¬В	В & (¬В)	А v (В & (¬В))	(А v (В & (¬В))) -> В	((А v (В & (¬В))) -> В) ≡А
х	про	х	про	х	х	х
х	х	про	про	х	х	х
про	про	х	про	про	х	про
про	х	про	про	про	х	про

Як ми бачимо, у результаті прийняття рішень прикладу стане останній рядок. Таблиця істинності допомогла вирішити задачу з будь-якими можливими вихідними даними.

висновок

У цій статті були розглянуті деякі поняттяматематичної логіки, такі як інформатика, властивості логічних операцій, а також - що таке логічні операції самі по собі. Були наведені деякі найпростіші приклади для вирішення завдань по математичній логіці і таблиці істинності, необхідні для спрощення цього процесу.

</ P>